I Poliedri Regolari e Semiregolari

I Solidi Platonici o Poliedri Regolari e i Ploliedri Semiregolari

Come Luca Pacioli aveva illustrato in maniera esaustiva nel “De divina proportione“, dai Cinque Solidi Platonici, o Poliedri Regolari, si possono ricavare altri Solidi Semiregolari.

Alcuni di questi hanno assunto nell’arte e nella filosofia un’importanza simile a quella dei Poliedri Regolari.

La scoperta e lo studio di questi poliedri iniziano anch’essi nell’Antica Grecia, verranno conservati dai matematici islamici e ripresi in considerazione nel Rinascimento e in epoca moderna.

I Solidi Platonici vengono definiti come “Poliedri Regolari Semplici” e non possono essere più di cinque; ma esistono altri quattroPoliedri Regolari non Semplici” chiamati Poliedri di Keplero-Poinsot.

 

I Poliedri Regolari di Keplero-Poinsot
Poliedri Regolari e Semiregolari - Piccolo Dodecaedro Stellato
Piccolo Dodecaedro Stellato
Poliedri Regolari e Semiregolari - Grande Dodecaedro Stellato
Grande Dodecaedro Stellato

Rispetto ai cinque poliedri regolari si differenziano perché non sono convessi, infatti le loro Facce o sono Poligoni Regolari Stellati oppure sono Poligoni Regolari Intrecciati.

Keplero nel “Harmonices mundi libri quinque” studiò i seguenti Poliedri Regolari Stellati:

il Piccolo Dodecaedro Stellato; che ha come facce 12 Pentagoni stellati, 12 vertici e 30 spigoli, 5 lati per ogni faccia e 5 spigoli per ogni vertice;

il Grande Dodecaedro Stellato; che ha come facce 12 Pentagoni stellati, 20 vertici e 30 spigoli, 5 lati per ogni faccia e 3 spigoli per ogni vertice.

Louis Poinsot nel 1809 approfondì ulteriormente questi studi dimostrando inoltre le proprietà di dualità con gli altri due Poliedri Regolari non convessi, ovvero:

Poliedri Regolari e Semiregolari - Grande Dodecaedro
Grande Dodecaedro
Poliedri Regolari e Semiregolari - Grande Icosaedro
Grande Icosaedro

il Grande Dodecaedro; che ha come facce 12 Pentagoni regolari, 12 vertici e 30 spigoli, 5 lati per ogni faccia e 5 spigoli per ogni vertice;

il Grande Icosaedro; che ha come facce 20 Triangoli Equilateri, 12 vertici e 30 spigoli, 3 lati per ogni faccia e 5 spigoli per ogni vertice.

Il Piccolo Dodecaedro Stellato e il Grande Dodecaedro sono tra loro duali; così come sono tra loro duali il Grande Dodecaedro Stellato e il Grande Icosaedro.

 

La Stellazione
Poliedri Regolari e Semiregolari - Paolo Uccello (attr.) - Piccolo Dodecaedro Stellato - S. Marco - Venezia
Poliedri Regolari e Semiregolari – Paolo Uccello (attr.) – Piccolo Dodecaedro Stellato – S. Marco – Venezia

Questi quattro poliedri regolari si possono ricavare per mezzo dell’operazione di Stellazione di due Solidi Platonici, il Dodecaedro e l’Icosaedro.

Essa venne definita da Keplero come l’estensione delle facce di un poliedro fino al punto in cui esse si incontrano nuovamente.

Benché siano stati descritti in maniera definitiva da questi due studiosi, i quattro solidi di Keplero-Poinsot hanno una storia figurativa ben più antica.

Ad esempio, nella basilica di S. Marco a Venezia si trova un intarsio marmoreo pavimentale riproducente il Piccolo Dodecaedro Stellato.

Per la sua bellezza, questa opera viene tradizionalmente attribuita a Paolo Uccello, che per qualche anno lavorò nella città lagunare.

Ritroviamo i Poliedri di Keplero-Poinsot anche nelle illustrazioni leonardesche del “De divina proportione” di Pacioli, accanto altri poliedri stellati.

 

La Stella Octangula
Poliedri Regolari e Semiregolari - Stella Octangula
Poliedri Regolari e Semiregolari – Stella Octangula

Tra essi si distingue la Stella Octangula, molto amata dagli artisti rinascimentali.

La Stella Octangula si può definire come:

la Stellazione dell’Ottaedro;

un Poliedro Regolare Composto ottenuto tramite la Compenetrazione di due Tetraedri uguali ruotati di 180°.

Inoltre, essa si inscrive perfettamente nell’Esaedro.

Queste particolarità che legano la Stella Octangula ai Solidi Platonici costituiscono probabilmente molta della fortuna avuta presso gli artisti rinascimentali, come testimonia la sua presenza in tarsie lignee e in mosaici pavimentali.

 

I Tredici Solidi Archimedei
Poliedri Regolari e Semiregolari - Luca Pacioli e Leonardo - De divina proportione - Icosaedro Troncato
Poliedri Regolari e Semiregolari – Luca Pacioli e Leonardo – De divina proportione – Icosaedro Troncato

Oltre ai Cinque Solidi Platonici, ai quattro Poliedri di Kelpero-Poinsot e alla Stella Octangula, per il connubio tra arte e matematica furono importanti anche i Tredici Solidi Archimedei.

Essi devono il loro nome ad Archimede (vissuto tra il 287 e il 212 a.C.) che venne considerato fin dall’antichità il loro scopritore.

Si ottengono mediante l’operazione di Troncamento dei Solidi Platonici, presentando vertici regolari e facce che sono poligoni regolari non uguali.

Sono stati illustrati anch’essi da Leonardo nel “De divina proportione” di Luca Pacioli.

 

I Poliedri Regolari e Semiregolari, dopo il “de divina proportione”:

Le illustrazioni di Leonardo per il “De divina proportione” fornirono nuovi stimoli agli artisti che si dedicavano alla Prospettiva, in particolare quando era applicata ai cartoni per le tarsie lignee.

Fra’ Giovanni da Verona
Poliedri Regolari e Semiregolari - Fra' Giovanni da Verona - Tarsia con Rombododecaedro Stellato, Cubottaedro e Grande Dodecaedro Stellato - S. Maria in Organo - Verona
Poliedri Regolari e Semiregolari – Fra’ Giovanni da Verona – Tarsia con Rombododecaedro Stellato, Cubottaedro e Grande Dodecaedro Stellato – S. Maria in Organo – Verona
Poliedri Regolari e Semiregolari - Fra' Giovanni da Verona - Tarsia con Geode, Icosaedro e Icosaedro Troncato - S. Maria in Organo - Verona
Poliedri Regolari e Semiregolari – Fra’ Giovanni da Verona – Tarsia con Geode, Icosaedro e Icosaedro Troncato – S. Maria in Organo – Verona

Un’opera in cui si ritrovano precocemente utilizzati alcuni dei poliedri leonardeschi è l’insieme delle tarsie lignee del coro della chiesa di S. Maria in Organo a Verona.

In essa troviamo infatti rappresentati: Solidi Platonici, Solidi Archimedei, Poliedri Stellati e Geodi.

Il suo autore fu Fra’ Giovanni da Verona (1457-1525), che realizzò anche la chiesa e il campanile.

Tra le varie rappresentazioni a trompe-l’oeil utilizzate, troviamo anche due stipetti contenenti vari oggetti tra cui si riconoscono:

nell’uno, un Rombododecaedro Stellato, un Cubottaedro e un Grande Dodecaedro Stellato;

nell’altro, un Geode, un Icosaedro e un Icosaedro Troncato (il nostro pallone da calcio), tutti in forma “vacua”.

Esse sono un esempio di come l’arte, la matematica e l’artigianato potessero agilmente fondersi grazie all’uso della Prospettiva durante quel breve periodo della cultura europea in cui le varie conoscenze potevano dialogare alla pari, quale fu il Rinascimento.

Albrecht Dürer

Un esempio eccelso di tale periodo è rappresentato dalla famosa incisione di Albrecht Dürer (1471-1528), la Melencolia I.

Questo affascinante bulino è stato studiato in un numero impressionante di lavori critici a causa delle numerose implicazioni simboliche del soggetto.

Qui ci occuperemo del misterioso solido rappresentato alla destra della meditabonda figura femminile alata.

Gli studiosi hanno dato varie interpretazioni non solo del significato simbolico di tale solido ma anche della sua forma.

Infatti la sua rappresentazione prospettica in scorcio lo rende visivamente ambiguo, tanto che esso viene detto Poliedro di Dürer tout court.

Il Poliedro di Dürer

Due sono le teorie che si contendono la risoluzione del problema.

Poliedri Regolari e Semiregolari - Albrecht Durer - Melencolia I
Poliedri Regolari e Semiregolari – Albrecht Durer – Melencolia I
Prima Teoria:

La prima teoria lo considera un Esaedro, o Cubo, a cui sono stati troncati due angoli opposti.

Il Primo dei Solidi Platonici rappresenterebbe il Primo Elemento, la Terra.

Essa è considerata in questo caso la Materia Prima appena intaccata dall’Opera Umana e quindi in equilibrio instabile.

Seconda Teoria:

La seconda teoria afferma che si tratta di un Romboedro a sei facce a cui sono stati troncati due vertici per poter essere inscritto in una Sfera.

Esso ha sei Facce a forma di Pentagono irregolare e due Facce a forma di Triangolo Equilatero.

Gli stessi angoli del solido così ottenuto hanno dato il via ad altre discussioni.

Per alcuni essi soni di 72°, collegandosi al Rapporto Aureo, per altri si tratta di angoli di 80°.

Appoggiandolo a una delle facce triangolari e osservandolo frontalmente esso viene inoltre a coincidere con il Quadrato magico che l’artista rappresenta sulla parete alle spalle della figura alata.

Per questa interpretazione, tale solido rappresenterebbe all’interno dell’incisione la Geometria Descrittiva od Ottica, e al tempo stesso sarebbe la dimostrazione dell’abilità raggiunta da Dürer stesso nell’applicazione della Prospettiva.

 

I Poliedri Regolari e Semiregolari nell’Arte del Novecento e Contemporanea:

Dopo il Rinascimento l’interesse per i Solidi Platonici e gli altri Poliedri ritornò entro l’ambito degli studi più propriamente matematici e in parte filosofici, come si è visto con Keplero.

Soltanto nel Novecento, grazie ai concomitanti sviluppi dell’Arte e della Scienza, troveremo ancora una volta degli artisti interessarsi a questi argomenti.

 

Il Novecento

In questo capitolo vedremo due esempi decisamente diversi dell’utilizzo dei Solidi Platonici da parte degli artisti del Novecento.

Salvador Dalì

Un primo esempio è quello di Salvador Dalì (1904-1989).

Poliedri Regolari e Semiregolari - Salvador Dalì - Corpus Hypercubus
Poliedri Regolari e Semiregolari – Salvador Dalì – Corpus Hypercubus

Durante gli anni Cinquanta del Novecento, la sua produzione artistica venne influenzata dal suo riavvicinamento al Cattolicesimo e dal suo interessarsi alle nuove scoperte della fisica e della matematica.

In tale periodo, Dalì utilizzò nelle sue opere a carattere religioso alcuni Solidi Platonici particolarmente significativi.

Corpus Hypercubus

Per esempio, “Corpus Hypercubus” è una Crocifissione in cui la figura del Cristo è sospesa nell’aria e la Croce è sostituita da una struttura fatta da otto Esaedri, rappresentante lo sviluppo tridimensionale dell’Ipercubo, un solido a quattro dimensioni avente come facce otto cubi.

Il mistero della morte di Cristo, dell’unione dei Divino con l’Umano, viene rappresentato per mezzo dell’irriducibilità delle diverse geometrie.

Sacramento dell’Ultima Cena
Poliedri Regolari e Semiregolari - Salvador Dalì - Sacramento dell'Ultima Cena
Poliedri Regolari e Semiregolari – Salvador Dalì – Sacramento dell’Ultima Cena

Nel “Sacramento dell’Ultima Cena” l’artista unisce l’episodio evangelico (rappresentato con seicentesco realismo) con l’evocazione della transustanziazione (attraverso l’evanescente corpo che sovrasta l’azione) e con la reiterazione di due numeri particolarmente mistici, il Dodici e il “numero aureo“, il “phi“, (rappresentati entrambi con un immenso Dodecaedro che penetra la scena).

Egli stesso, usando il suo particolare linguaggio, definì questo quadro come una “cosmologia aritmetica e filosofica basata sulla sublime paranoia del numero dodici”.

Ancora una volta, Dalì sente il bisogno di evocare il Mistero Cristiano attraverso l’uso della Geometria, ricollegandosi in questo caso esplicitamente alla rappresentazione dell’universo per mezzo dei Solidi Platonici e alla concezione pitagorica del Numero.

Maurits Cornelis Escher

Nel Novecento, un artista molto diverso da Dalì si interessò con costanza ai Solidi Platonici e agli altri Poliedri utilizzati dagli artisti rinascimentali: Maurits Cornelis Escher (1898-1972).

La sua arte fu molto lontana dal mondo delle avanguardie artistiche e per molto tempo fu misconosciuta dalla critica ufficiale.

Escher fu invece molto apprezzato dal pubblico per le sue incisioni in cui convivono strutture matematiche e rappresentazioni simboliche, costruzioni prospettiche e illusioni ottiche.

A causa del suo interesse per tali argomenti, egli produsse numerose opere basate sui Solidi Platonici e gli altri Poliedri Semiregolari.

La loro rappresentazione prospettica si unisce alla creazione di figure fantastiche, viventi tra universi paralleli a più dimensioni.

Escher spiegò così il suo interesse per queste figure geometriche:

“Essi simbolizzano il desiderio di Armonia e di ordine dell’uomo, ma nello stesso tempo la loro perfezione desta in noi il senso della nostra impotenza. I poliedri regolari non sono invenzioni della mente umana, perché esistevano molto tempo prima che l’uomo comparisse sulla scena”.

Tra le sue opere che esemplificano tale pensiero, possiamo ricordare le seguenti.

Poliedri Regolari e Semiregolari - Escher -RettiliRettili

In “Rettili” questi animaletti fanno un girotondo tra la seconda e la terza dimensione, raggiungendo la massima vitalità all’apice di un Dodecaedro, ovvero quello dei Solidi Platonici che rappresenta il nostro Universo.

Poliedri Regolari e Semiregolari - Escher - Ordine e CaosOrdine e Caos

In “Ordine e Caos” al centro si trova un Piccolo Dodecaedro Stellato inscritto in una Sfera trasparente, che fora con le sue punte, e circondato da un Cerchio di rifiuti.

Poliedri Regolari e Semiregolari - Esher - Planetoide DoppioPlanetoide Doppio

Planetoide Doppio” è una Stella Octangula in cui è evidenziata la sua composizione tramite la Compenetrazione di due Tetraedri; uno è raffigurato come un terreno montagnoso e l’altro come una fortezza.

Poliedri Regolari e Semiregolari - Escher - StelleStelle

In “Stelle” viene immaginato un corpo celeste composto da Tre Ottaedri concentrici “vacui” che imprigionano due camaleonti; esso è attorniato da altri solidi derivanti dal “De divina proportione“, fluttuanti nello spazio come tante Stelle, appunto.

 

A cavallo del Terzo Millennio

Tra gli artisti operanti a cavallo tra il Novecento e il Duemila e che hanno riutilizzato i Solidi Platonici o altri Poliedri ricordiamo Mimmo Paladino e Paolo Chiasera.

Essi sembrano entrambi avvicinarsi a tale argomento attraverso l’opera degli artisti del Rinascimento, pur partendo da diversi presupposti.

Mimmo Paladino

Mimmo Paladino (1948) dopo il Duemila propone alcune sculture e installazioni ispirate dal Piccolo Dodecaedro Stellato, come venne disegnato da Leonardo da Vinci, assimilandolo al suo alfabeto grafico e scultoreo.

Poliedri Regolari e Semiregolari - Paladino - DodecaedroPiazza Guidi a Vinci

Egli infatti si occupa del riassetto urbanistico della Piazza Guidi a Vinci ponendovi al suo interno uno di questi Poliedri Regolari Stellati.

Poliedri Regolari e Semiregolari - Paladino - ZenithZenith

In un’altra sua scultura, “Zenith“, unisce il medesimo Piccolo Dodecaedro Stellato a uno dei suoi caratteristici cavalli, utilizzando per il loro connubio la Sezione Aurea.

Poliedri Regolari e Semiregolari - Paladino - CarroCarro

Infine, “Carro” si presenta composto da un Piccolo Dodecaedro Stellato inscritto in un Cubo munito di due Ruote; una scultura in cui sembrano convivere arcaicità e umanesimo.

 

 

Paolo Chiasera

Paolo Chiasera (1978) utilizza nella sua opera il Poliedro di Dürer, diventato tridimensionale e nuovamente anamorfizzato.

Esso si presenta come l’ultima tappa di un complesso lavoro di costruzione, distruzione e ricostruzione denominato “Archivio Zarathustra“.

Poliedri Regolari e Semiregolari - Chiasera - Archivio ZarathustraArchivio Zarathustra

In esso, tra altre suggestioni, rivivono e convivono in fasi successive “L’Atlante della memoria” di Aby Warburg e il “Così parlò Zarathustra” di Nietzsche, come esempi del pensiero sull’arte occidentale.

Dopo avere composto delle tavole “warburghiane”, l’autore le ha incenerite e ricollocate in una forma metallica.

In essa si condensano il Poliedro della “Melencolia I” di Dürer e la “roccia-meteorite” del “Zarathustra” di Nietzsche.

 

La Storia del Significato dei Solidi Platonici continua nelle seguenti pagine:

Significato dei Solidi Platonici – Introduzione

Da Pitagora a Euclide

I Poliedri Regolari e Semiregolari