Significato del Pentagono e del Pentagramma

Introduzione al Significato del Pentagono e del Pentagramma
Significato del Pentagono e del Pentagramma - Progetto per la Cattedrale di Strasburgo - XIV sec.
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Progetto per la Cattedrale di Strasburgo – XIV sec.

Il Significato del Pentagono e il Significato del Pentagramma, o Stella a Cinque Punte, sono strettamente correlati, sia dal punto di vista simbolico che matematico.

Inoltre, essi sono entrambi legati al Significato del Numero Cinque.

Come il Numero Cinque, Pentagono e Pentagramma esprimono in forma geometrica:

l’Unione dei Diseguali e quindi il Matrimonio;

il Microcosmo e quindi l’Uomo.

Essi si legano anche al Significato del Centro, al Significato della Ruota, e a quello della Rosa a Cinque Petali, specialmente quando vennero utilizzati nell’arte del periodo Gotico.

 

Il Significato del Pentagono e del Pentagramma nell’Antichità

Finora le scoperte archeologiche hanno evidenziato che il Significato del Pentagramma è stato elaborato prima del Significato del Pentagono.

I più antichi Pentagrammi finora ritrovati provengono dalle Civiltà Mesopotamiche e del Medio Oriente.

A Uruk è stata recuperata una tavoletta d’argilla del 3200 a.C. circa su cui è inciso un Pentagramma.

Altri Pentagrammi decorano un vaso e un fuso dello stesso periodo, trovati a Jemdet Nasr.

Nel Negev è stato trovato un raschino da pietra focaia decorato con un Pentagramma, risalente al Calcolitico (4500-3100 a.C. circa).

Inoltre, sono state trovate tavolette con iscrizioni cuneiformi sumeriche dove il simbolo del Pentagramma indicava le ”regioni dell’universo”.

Dai ritrovamenti archeologici, risulta che i Babilonesi del II millennio a.C. conoscevano una formula matematica per calcolare l’area del Pentagono, anche se dava un risultato approssimativo.

Una formula simile era usata per calcolare il rapporto tra circonferenza e diametro del Cerchio.

Entrambe la formule si basavano sull’ipotesi che il perimetro di qualsiasi poligono regolare fosse Sei volte il raggio del Cerchio che lo circoscrive; in realtà questo è vero solo per l’Esagono, ma per gli altri poligoni si ottiene un risultato sufficientemente approssimativo.

Nei reperti dell’Antico Egitto il Pentagramma e il Pentagono sono abbastanza rari.

Si trova invece molto di frequente la Stella a Cinque Punte non geometrica sia come decorazione che come geroglifico. La stella semplice era il geroglifico che indicava le Stelle del Cielo; mentre la Stella inscritta nel Cerchio era il geroglifico che indicava le Stelle al Crepuscolo oppure gli Inferi.

 

Il Significato del Pentagono e del Pentagramma per i Pitagorici
Significato del Pentagono e del Pentagramma - Pitagora
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Pitagora

La Scuola Pitagorica fu la prima a fornire la più importante formulazione teorica del Significato del Numero Cinque, del Pentagono e del Pentagramma.

Il Numero Cinque era considerato l’Unione del Numero Due, il primo numero pari e femminile, con il Numero Tre, il primo numero dispari e maschile.

Per tale motivo, per i Pitagorici il Numero Cinque rappresentava l’Amore Coniugale, l’unione feconda dei diseguali.

Questo significato simbolico venne trasmesso al Pentagramma, o Stella a Cinque Punte, che era il simbolo principe della confraternita.

Secondo notizie di autori posteriori, i Pitagorici chiamavano il Pentagramma con il nome di Salute, parola che consideravano di buon augurio per il corpo e per l’anima, legata alla dea della salute Hygeia.

Infatti, il Pentagramma e il termine Salute rappresentavano l’Armonia Universale.

 

Ippaso di Metaponto e i Numeri Irrazionali
Significato del Pentagono e del Pentagramma - Pentagoni e Pentagrammi inscritti
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Pentagoni e Pentagrammi inscritti

Altre notizie, che trascolorano nella leggenda, fanno del pitagorico Ippaso di Metaponto lo sfortunato scopritore dei Numeri Irrazionali, scomparso misteriosamente in mare a causa di ciò.

Probabilmente, i Pitagorici osservarono una relazione geometrica tra Pentagramma e Pentagono che portò alla scoperta del Rapporto Aureo (il numero “phi”) e dell’Incommensurabilità dei Numeri Irrazionali.

Collegando i vertici del Pentagono tramite diagonali si ottiene un Pentagramma che ha al suo Centro un Pentagono, e così avvia all’infinito.

Il rapporto tra i lati di ogni Pentagono è uguale al Rapporto Aureo.

Anche il rapporto tra i lati di ogni Pentagramma è uguale al Rapporto Aureo.

Questa possibilità di creare all’infinito una serie di Pentagoni e Pentagrammi inscritti gli uni negli altri, è una dimostrazione matematica dell’Incommensurabilità del lato e della diagonale del Pentagono.

 

I Greci e il Pentagono regolare
Significato del Pentagono e del Pentagramma - Il Rapporto Aureo: Triangoli e Gnomoni Aurei
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Il Rapporto Aureo: Triangoli e Gnomoni Aurei

L’interesse dei matematici greci per il Rapporto Aureo, ovvero per il Numero Irrazionalephi”, era dovuto alla possibilità di avere un sistema semplice per la costruzione del Pentagono regolare, dato che il rapporto tra la sua diagonale e il suo lato è pari a “phi”.

Il Pentagono regolare può essere suddiviso in tal modo in tre Triangoli.

Il Triangolo centrale è detto Triangolo Aureo, poiché ha il rapporto del lato con la base pari a “phi”.

I due Triangoli laterali sono detti Gnomoni Aurei, poiché hanno il rapporto del lato con la base pari a 1/”phi”.

Ogni Triangolo Aureo e ogni Gnomone Aureo può a sua volta essere scomposto in altri Triangoli e Gnomoni Aurei.

 

Il Pentagono e il Dodecaedro
Significato del Pentagono e del Pentagramma - Il Dodecaedro
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Il Dodecaedro

Il Pentagono è legato anche alla costruzione del Dodecaedro, il Solido Platonico più ricco di significati.

Anche la scoperta di questi Poliedri Regolari si fa risalire ai Pitagorici.

Uno dei racconti su Ippaso di Metaponto lo indica come il primo a descrivere la “Sfera dai Dodici Pentagoni”.

Con questo termine veniva indicato il Dodecaedro, il Solido Platonico le cui Dodici facce sono Pentagoni.

 

Il Significato del Pentagono e del Pentagramma nel Medioevo
Significato del Pentagono e del Pentagramma - Rosone del transetto nord della Cattedrale di Amiens - XIII sec.
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Rosone del transetto nord della Cattedrale di Amiens – XIII sec.

Nel Medioevo l’eredità classica relativa al Significato del Pentagono e del Pentagramma non andò perduta e riprese vigore soprattutto nel periodo del Gotico.

In tale periodo il Pentagono e il Pentagramma rappresentano il Microcosmo in rapporto al Macrocosmo, l’Uomo in rapporto a Dio, l’Aspirazione all’Armonia, all’Ordine e alla Perfezione.

In tali accezioni si ricollegano anche al significato del Centro.

Significato del Pentagono e del Pentagramma - Pietà Roettgen - Arte Tedesca - 1300-1305
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Pietà Roettgen – Arte Tedesca – 1300-1305

Il Significato del Pentagono e del Pentagramma trovarono nuova visibilità, nei rosoni delle chiese gotiche come Stella a Cinque Punte oppure come una Rosa stilizzata a Cinque petali, collegandosi al Significato della Ruota.

Significato del Pentagono e del Pentagramma - Villard de Honnecourt - Livre de portraiture - XIII sec.
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Villard de Honnecourt – Livre de portraiture – XIII sec.

Il Pentagono, il Pentagramma e la Rosa a Cinque Petali assunsero anche simbologie mariane nelle chiese dedicate alla Madonna, indicata come Stella Maris e Rosa Mistica.

Il Significato del Pentagono, quello del Pentagramma e quello della Rosa a Cinque Petali sono evidenti anche nelle decorazioni di manufatti, miniature, dipinti o statue dedicati a Maria quale Vergine e Madre di Dio.

Nel XIII secolo, Villard de Honnecourt nel suo “Livre de portraiture” descrisse alcune costruzioni geometriche della testa, aventi tuttavia anche un significato simbolico e fisiognomico.

Egli incluse, tra le altre, anche la costruzione di un volto avente le proporzioni derivate da un Pentagramma.

In tale figura, oltre l’aspetto geometrico, vi era il significato simbolico dell’Uomo come rappresentazione del Microcosmo, legato al Numero Cinque.

 

Il significato del Pentagono e del Pentagramma nel Rinascimento: Piero della Francesca
Significato del Pentagono e del Pentagramma - Piero della Francesca - Trattato d'abaco - Ricostruzione grafica
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Piero della Francesca – Trattato d’abaco – Ricostruzione grafica
Significato del Pentagono e del Pentagramma - Piero della Francesca - De prospectiva pingendi - Ricostruzione grafica
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Piero della Francesca – De prospectiva pingendi – Ricostruzione grafica

Durante il Rinascimento, le opere teoriche di Piero della Francesca riportarono in auge le teorie matematiche classiche legandole ai problemi della pratica artistica.

Egli si interessò anche alla geometria del Pentagono ponendola in relazione con i Solidi Platonici, il Rapporto Aureo e la Prospettiva, riprendendo la tradizione greca.

Nel “Trattato d’abaco” e nel “Libellus de quinque corporibus regularis” analizzò problemi matematici risolvibili tramite il Rapporto Aureo e in cui veniva impiegato il Pentagono.

Per esempio utilizzò il Pentagono per calcolare il diametro di cinque Cerchi inscritti in un Cerchio di diametro dato.

Nel “De prospectiva pingendi“, dopo l’analisi teorica, presentò un esempio della costruzione prospettica di un Pentagono.

 

Il significato del Pentagono e del Pentagramma nel Rinascimento: Leonardo e Dürer
Significato del Pentagono e del Pentagramma - Leonardo da Vinci - Codice Atlantico -1514-1515
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Leonardo da Vinci – Codice Atlantico -1514-1515

Anche Leonardo da Vinci affrontò nelle sue opere teoriche il rapporto esistente tra il Pentagono, i Solidi Platonici e i problemi della Prospettiva.

Ci sono giunte alcune pagine di appunti relativi allo studio del Dodecaedro e degli altri Solidi Platonici, con studi riguardanti le proprietà geometriche del Pentagono.

Significato del Pentagono e del Pentagramma - Leonardo da Vinci - Codice Forster I - 1505
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Leonardo da Vinci – Codice Forster I – 1505

Nel “Codice Forster I” troviamo alcune note relativa al Dodecaedro e a una Piramide avente come base un Pentagono.

Nel “Codice Atlantico” troviamo altre annotazioni relative ai Solidi Platonici e al Pentagono.

Queste annotazioni sono probabilmente da mettere in relazione con le illustrazioni leonardesche del “De divina proportione” di Luca Pacioli.

Forse influenzato dagli studi di Leonardo e dall’opera di Luca Pacioli, anche Albrecht Dürer si interessò, ai Solidi Platonici e allo sviluppo del Pentagono.

Significato del Pentagono e del Pentagramma - Albrecht Dürer - Ricostruzione grafica
Significato del Pentagono e del Pentagramma – Albrecht Dürer – Ricostruzione grafica

Nei suoi studi matematici applicati all’arte, raccolti nel “Manuale di misurazione con riga e compasso“, troviamo:

alcuni “sviluppi geometrici” di Poliedri Regolari;

due metodi per la costruzione del Pentagono e alcune interessanti osservazioni relative a questa ultima figura geometrica.

Egli osservò che giustapponendo Sei Pentagoni si ottiene un Pentagono avente Cinque Triangoli Aurei vuoti.

Giustapponendo Sei di questi nuovi Pentagoni si ottiene un altro Pentagono più grande e si può procedere così  all’infinito.

 

Nozioni di Geometria Descrittiva per la Costruzione del Pentagono

 

pentagono inscritto nella circonferenza

Costruzione del Pentagono Regolare inscritto in una Circonferenza

Tracciare due diametri AB e CD perpendicolari fra loro. Centrare il compasso in D e, con raggio uguale a DO, descrivere un arco che interseca la circonferenza nei punti E e F. Unendo E con F, si fissa sul diametro il punto G. Quindi centrare il compasso in G e, con raggio GA, descrivere un arco che incontra il diametro CD nel punto H. Il segmento AH corrisponde al lato del pentagono. Puntando il compasso in A, ruotare il punto H sulla circonferenza per ottenere il punto I. Riportare la stessa distanza per altre 4 volte per fissare i 5 punti che uniti costruiscono il pentagono.

 

pentagono dato il latoCostruzione del Pentagono Regolare dato il Lato

Su una retta “r” tracciare il segmento AB, uguale al lato del pentagono. Puntando il compasso in A e in B descrivere due archi di cerchio, aventi raggio uguale al lato del pentagono, che si inersecano nel punto C. Dal punto 1, innalzare la perpendicolare ad AB pasante per C. da A innalzare la perpendicolare che fissa il punto 2 sull’arco DB. Puntare il compasso in 1 per descrivere un arco, con raggio pari a 1-2, che incontra la retta “r2 nel punto3. Quindi, puntare il compasso in B per descrivere un arco, con raggio pari a B3, che fissa i punti D e E. Infine, puntare il compasso in E per descrivere un arco, con raggio pari a ED, che fissa il punto F. I punti ADEFB costruiscono il pentagono.

 

costruzione approssimata del pentagonoCostruzione approssimata del Pentagono Regolare inscritto in una Circonferenza

Tracciare un diametro AB. Puntando il compasso in B, tracciare un arco avente raggio pari a BA. Ripetere l’operazione in A in modo che i due archi si intersichino in C e D. Dividere il diametro AB in 5 parti uguali. Unire C con il punto 2 e proseguire fino a incontrare la circonferenza nel punto E. Unire C con il punto 4 e proseguire fino a inconrare la circonferenza nel punto F. Ripetere le stesse operazioni con il punto D per trovare i punti G e H. Unire i punti così trovati sulla circonferenza.

Questa costruzione è valida per qualsiasi poligono regolare, dividendo il diametro AB in tante parti quanti sono i lati del poligono cercato.